Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E。
（1）求证：AE·AO=BF·BO；
（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵E，F点都在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数的性质得出，xy=k
AE·AO=BF·BO；
（2）设经过O、E、F三点的抛物线的解析式为，
∵点E的坐标为（2，4），
∴AE·AO=BF·BO=8，
∵BO=6，
∴BF=，
∴F（6，），
把O、E、F三点的坐标分别代入二次函数解析式得：
，解得：，
∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为。；
（3）如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C′，连接C'E、C'F，
过E作EG垂直于OB于点G，
则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有：
设BC′=a，BF=b，则C′F=CF=4-b，
∴点的坐标F（6，b），E（1.5b，4），
EC′=EC=6-1.5b，
∴在Rt△C′BF中，①，
∵Rt△EGC′∽Rt△C′BF，
∴（6-1.5b）：（4-b）=4：a=（6-1.5b-a）：b②，
解得：，
∴F点的坐标为（6，），
∴OF=。