Question

如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C。
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG垂直x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由。

Answer 1

解：（1）令y=0，得x²-1=0，
解得x=士1，
令x=0，得y= -1，
∴A（1，0），B（-1，0），C（0，-1）；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BC0=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°，
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE =a，则PE=a+1，
∴P（-a，a+1），
∵点P在抛物线y=x²-1上，
∴a+1=a²-1，
解得a₁=2，a₂=-1（不合题意，舍去），
∴PE=3，
∴四边形ACBP的面积S=AB·OC+AB·PE =×2×1+×2×3=4；
（3）假设存在，
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC，
∵MG垂直x轴于点G，
∴∠MGA=∠PAC=90°，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3
设M点的横坐标为m，则M（m，m²-1），
①点M在y轴右侧时，则m>1，
（i）当△AMG∽△PCA时，有，
∵AG=m-1，MG=m²-1，
即
解得m₁=1（舍去），m₂=-（舍去），
（ ii）当△MAC∽△PCA时有，
即
解得：m₁=1（舍去），m₂=2，
∴M（2，3），
②点M在y轴左侧时，则m<-1，
（i）当△AMG∽△PCA时有，
∵AG=-m+1，MG=m²-1，
∴
解得m₁=1（舍去），m₂=-，
∴M（-，），
（ ii） 当△MAG∽△PCA时有，
即
解得：m₁=1（舍去），m₂=-4，
∴M（-4，15），
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似，
M点的坐标为（2，3），（-，）或（-4，15）。