Question

如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．

(1)求证：△OCD是等边三角形；

(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵△BOC≌△ADC， 　　∴OC＝DC　　1分 　　∵∠OCD＝， 　　∴△OCD是等边三角形　　1分 　　(2)解：△AOD是Rt△　　1分 　　理由如下： 　　∵△OCD是等边三角形， 　　∴∠ODC＝， 　　∵△BOC≌△ADC，∠α＝， 　　∴∠ADC＝∠BOC＝∠α＝， 　　∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝－＝， 　　∴△AOD是Rt△　　2分 　　(3)解： 　　∵△OCD是等边三角形， 　　∴∠COD＝∠ODC＝． 　　∵∠AOB＝，∠ADC＝∠BOC＝α， 　　∴∠AOD＝－∠AOB－∠BOC－∠COD＝－－α－＝－α， 　　∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝α－， 　　∴∠OAD＝－∠AOD－∠ADO＝－(－α)－(α－)＝． 　　①当∠AOD＝∠ADO时， 　　－α＝α－，∴α＝　　2分 　　②当∠AOD＝∠OAD时， 　　－α＝，∴α＝　　2分 　　③当∠ADO＝∠OAD时， 　　α－＝，∴α＝　　2分 　　综上所述：当α＝或或时，△AOD是等腰三角形　　1分