Question

某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电．已知居民小区A、B分别到主干线l的距离AA₁＝2千米，BB₁＝1千米，且A₁B₁＝4千米．

(1)如果居民小区A、B在主干线l的两旁，如图1所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？

(2)如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图2所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A₁的距离是多少千米？

Answer 1

答案：
解析：

(1)法一：连结AB，AB与l的交点就是所求分支点M． 　　分支点开在此处，总线路最短． 　　∵∠BB1M=∠AA1M=(已知)，∠BMB1=∠AMA1(对顶角相等)，∴△B1BM∽△A1AM． 　　∴，即． 　　解得A1M=．由勾股定理，得AB=AM＋BM==5． 　　所以分支点M在线段A1B1上且距A点千米处，最短线路的长度为5千米． 　　法二：连结AB，AB与l的交点就是所求分支点M．分支点开在此处，总线路最短． 　　过B点作l的平行线，与AA1的延长线交于P点，如图，则∠APB=，P=A1B1=44，AP=A1A＋B1B=3． 　　在Rt△APB中，根据勾股定理，得AB==5．所以最短线路的长度为5千米； 　　(2)如图作B点关于直线l的对称点B2，连结AB2交直线l于点M，此处即为分支点，由(1)知，A1M长度为千米．