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    证明：三角形的三边的垂直平分线交于一点．

    答案：略
    解析：

    已知：如图，在△ABC中，AB、BC的垂直平分线交于点O．

    求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O．

    证明：连接OA、OB、OC．∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB．同理，OB=OC．∴OA=OC．∴点O在AC的垂直平分线上．∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O．


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    科目：初中数学 来源：2009年浙江省嵊州市普通高中提前招生考试数学试卷 题型：059

    课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

    如图，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．

    小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连结BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．

    感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．

    (2)问题解决：

    受到(1)的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF．

    ①求证：BE＋CF＞EF

    ②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．

    (3)问题拓展：

    如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连结EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图28-1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a,b,c，倍角三角形的三边a,b,c有什么关系呢？让我们一起来探索．

    【小题1】我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空：

    【小题2】如图28-4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA ，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a、b、c，a、b、c三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图28-4给出的辅助线提示加以证明．

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    科目：初中数学 来源：2012届江苏省江阴市长泾片九年级下学期期中检测数学试卷（带解析） 题型：解答题

    在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图28-1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a,b,c，倍角三角形的三边a,b,c有什么关系呢？让我们一起来探索．

    【小题1】我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空：

    【小题2】如图28-4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA ，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a、b、c，a、b、c三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图28-4给出的辅助线提示加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图23-1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a,b,c，倍角三角形的三边a,b,c有什么关系呢？让我们一起来探索．


    （图23-1）　　 （图23-2）　　 （图23-3）　　　　 （图23-4）

    （1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究。请你结合图形填空：

    三角形

    角的已知量

    图23-2

    ∠A=2∠B=

    图23-3

    ∠A=2∠B=

    （2）如图23-4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA ，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a,b,c，a,b,c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图23-4给出的辅助线提示加以证明．

    （3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长． （直接写出结论即可）（原创）

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