Question

任意平方数除以8余数为0，1，4（这是平方数的又一重要特征）．

Answer 1

分析：可以从奇数和偶数分别讨论证明，（1）由2k+1（奇数）?（2k+1）²=4k²+4k+1=4k（k+1）+1（两个连续正整数k，k+1中必有偶数）?奇数的平方能表示成8t+1≡1（mod8），（2）由2k（偶数）?（2k）²=4k²（k为正整数），①k=偶数=2t?4k²=16t²≡0（mod8），②k=奇数=2t+1?4k²=4（2t+1）²=16（t²+t）+4≡4（mod8），得证．

解答：证明：奇数可以表示为2k+1，从而
奇数²=4k²+4k+1=4k（k+1）+1．
因为两个连续正整数k，k+1中必有偶数，所以4k（k+1）是8的倍数，从而
奇数²=8t+1≡1（mod8），
偶数²=（2k）²=4k²（k为正整数）．
（1）若k=偶数=2t，则4k²=16t²≡0（mod8）．
（2）若k=奇数=2t+1，则4k²=4（2t+1）²=16（t²+t）+4≡4（mod8），
所以，平均数≡

0(mod8) 1(mod8) 4(mod8)

，
即任意平方数除以8余数为0，1，4．

点评：求余数是同余的基本问题．在这种问题中，先求出与±1同余的数是一种基本的解题技巧．