Question

下表给出了代数式x²+bx+c与x的一些对应值：

x	……	-1	0	1	2	3	4	……
x2+bx+c	……		3		-1		3	……

（1）根据表格中的数据，确定b、c的值，并填齐表格空白处的对应值；

（2）设y=x² + bx + c的图象与x轴的交点为A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，P为线段AB上一动点，过P点作PE∥AC交BC于E，连结PC，当△PEC的面积最大时，求P点的坐标.

                                         

Answer 1

解：（1）当x=0和x=4时，均有函数值y=3,

       ∴ 函数的对称轴为x=2

       ∴顶点坐标为（2，-1）  

       即对应关系满足y=（x-2）²-1,

        ∴ y=x²－4x＋3                   

       ∴当x=-1时，y=8;x=1时，y=0;x=3时，y=0

x	……	-1	0	1	2	3	4	……
x2+bx+c	……	8	3	0	-1	0	3	……

（2） 解：函数图像与x轴交于A（1，0）、B（3，0）；

      与y轴交于点C（0，3）

      设P点坐标为（x,0），则PB=3－x

      ∴S_△BCP=(3－x)

      ∵PE∥AC  

      ∴△BEP∽△BCA   作EF⊥OB于F

      ∴=    

      即=  

       ∴ EF=(3－x)         

       ∴S_△BPE=BP?EF=（3-x）²

       ∵S_△PEC= S_△BCP－S_△BPE    

      ∴S_△PEC =(3－x)－（3-x）²

                    S_△PEC   =－x²＋3x－=－(x－2)²＋

      ∴当x=2时，y_最大=

      ∴  P点坐标是（2，0）