Question

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．求△ABC的内切圆的半径r．

Answer 1

答案：
解析：

分析：这是一道典型的三角形内切圆问题，可以从两个不同的角度入手，来解答它． 　　解法一：我们可以利用三角形的面积公式来进行求解，因为S△ABC＝AC·BC＝ab；若我们连接AO、BO、CO(如图)，这样就会将△ABC分成了△AOB、△BOC、△AOC．因为⊙O内切于△ABC，所以⊙O的半径r为△AOB、△BOC、△AOC的高，这样就有S△AOB＝rc、S△BOC＝ra、S△AOC＝rb，即S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝rc＋ra＋rb；所以ab＝rc＋ra＋rb，整理后得r＝． 　　解法二：这道例题我们同样可以利用切线长来解决．连接点O与△ABC的三边切点OD、OE、OF(如图)，根据切线性质定理有OE＝OF＝r，所以四边形OECF是正方形，即CE＝CF＝r．又根据切线长定理得AD＝AF，且AF＝AC－r＝b－r，则AD＝b－r，同理BD＝a－r．又因为AB＝AD＋BD，即c＝(b－r)＋(a－r)，由此可推出r＝． 　　通过以上两个求解过程，我们发现，同一问题两个结论．这是怎么回事，难道是我们的计算出错了吗？其实这两个结论是一致的，只是采用了两种不同的表达方式而已． 　　首先，我们可找一些符合题意的数值代入检验一下，例如，3、4、5；5、12、13；1、1、等．同时，我们还可以通过比较它们的大小关系来证明这个问题，即．因为△ABC是直角三角形，所以c2＝a2＋b2，也就是说上式结果应该等于0．从而说明，所以两个结论都是正确的． 　　那么，到底是什么原因造成这种情况的呢？其实造成一题两解(结论)的原因，就在于图形本身，正是因为△ABC为直角三角形，其三边长a、b、c本身就存在等量关系所以我们才会得到两个正确的解题思路，从而得出两个结论． 　　同学们，上例这种情况的出现并不多见，在这里引以此例，就是希望同学们在以后的数学学习中谨慎、仔细．因为，数学中的每一个题设，对于我们解题而言都是至关重要的．