Question

如图，在直角坐标系中，以点A(,0)为圆心，以为半径圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E.

(1)若抛物线y=x²+bx+c经过点C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上。

（2）在（1）中的抛物线的对称轴上有一点P，使得△PBD的周长最小，求点P的坐标。

（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1），

　　　　　，

　　　　　又在中，，

　　　　　

　　　　　的坐标为

　　　　又D,C两点在抛物线上，

　　　　　解得

　　　　　抛物线的解析式为：

　　　　　当时，

　　　　　点在抛物线上

　　　　（2）

　　　　　　　　

　　　　　　　抛物线的对称轴方程为

　　　　　　　在抛物线的对称轴上存在点P，使的周长最小．

　　　　　　　的长为定值　　　要使周长最小只需最小．

　　　　　　　连结DC，则DC与对称轴的交点即为使周长最小的点．

　　　　　　　设直线DC的解析式为．

　　　　　　　由得

　　　　　　　直线DC的解析式为

　　　　　　　由得

　　　　　　　故点P的坐标为

　　　　　（3）存在，设为抛物线对称轴上一点，在抛物线上要使四边形为平行四边形，则且，点在对称轴的左侧．

　　　　　　于是，过点作直线与抛物线交于点

　　　　　　由得

　　　　　　从而，

　　　　　　故在抛物线上存在点，使得四边形为平行四边形．