Question

（满分11分）

如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．

（1）证明：△ABG △ADE ；

（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜BAE ＜180°），设△ABE的面积为，△ADG的面积为，判断与的大小关系，并给予证明．

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】（1）证法一：

证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中

∠GAE=∠BAD=90°               ……1分

∠GAE+∠EAB=∠BAD+EAB 

即∠GAB=∠EAD                  ……2分

   又AG=AE  AB=AD

 ∴△ABG≌△ADE                    ……4分

证法二：

证明：因为四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，所以∠GAE=∠BAD=90°，AG=AE，AB=AD，所以△EAD可以看成是△GAB逆时针旋转90°得到，

所以△ABG≌△ADE

（2）证法一：

我猜想∠BHD=90°理由如下：

∵△ABG≌△ADE   ∴∠1=∠2      ……5分

而∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4

∵∠2+∠4=90   ∠1+∠3=90°    ……6分

∴∠BHD=90°                   ……7分

证法二：

我猜想∠BHD=90°理由如下：

由（1）证法(二)可知△EAD可以看成是△GAB逆时针旋转90°得到，BG与DE是一组对应边，

所以BG⊥DE，即∠BHD=90°

（3）证法一：

当正方形ABCD绕点A逆时针旋转

0°＜∠BAE＜180°时,S1和S2总保持相等．   ……8分

证明如下：由于0°＜∠BAE＜180°因此分三种情况：

①当0°＜∠BAE＜90°时 （如图10）

过点B作BM⊥直线AE于点M，

过点D作DN⊥直线AG于点N．

∵∠MAN=∠BAD=90°

∴∠MAB=∠NAD

又∠AMB=∠AND=90° AB=AD

∴△AMB≌△AND 

∴BM=DN    又AE=AG

∴

∴            ……９分

②当∠BAE=90°时 如图10（）

∵AE=AG  ∠BAE =∠DAG =90°AB=AD

∴△ABE≌△ADG

∴ 　　　　 ……１０分

③当90°＜∠BAE＜180°时 如图10（b）

和①一样；同理可证

综上所述，在（3）的条件下，总有． ……11分

证法二：

①当0°＜∠BAE＜90°时，如图10(c)

作EM⊥AB于点M，作GN⊥AD交DA延长线于点N，

 

则∠GNA=∠EMA=90°

又∵四边形ABCD与

四边形AEFG都是正方形，

∴AG=AE，AB=AD

∴∠GAN+∠EAN=90°，

∠EAM+∠EAN=90°

∴∠GAN=∠EAM

∴△GAN≌△EAM（AAS）∴GN=EM

∴

②③同证法一类似

证法三：

当正方形ABCD绕点A逆时针旋转0°＜∠BAE＜180°时,S1和S2总保持相等．  ……8分        

证明如下：由于0°＜∠BAE＜180°因此分三种情况：

①当0°＜∠BAE＜90°时　如图10（d）

延长GA至M使AM=AG，连接DM，则有

∵AE=AG=AM，AB=AD

又∠1+∠2=90°

∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3

∴△ABE≌△ADM （SAS）

∴

∴　　　　　　　　　　　……９分

②当∠BAE=90°时 （同证法一）　……10分

③当90°＜∠BAE＜180°时如图10（e）和①一样；

同理可证

综上所述，在（3）的条件下，总有   ……11分

证法四：

当0°＜∠BAE＜90°时如图10（f）延长DA至M使AM=AD，连接GM，

则有

再通过证明

△ABE与△AMG全等从而证出 　②③同证法一类似

证法五：

（这种证法用三角函数知识证明，无须分类证明）

如图10(g)四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，

∴AG=AE，AB=AD

当∠BAE=时，∠GAD=180°-则

sin(180°-)=sin

即

∴