Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°<α<90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F 两点。

（1）如图（1），观察并猜想，在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图（2），当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长。

Answer 1

解：（1）EA1=FC； 证明：∵AB=BC， ∴∠∠A=∠C， 由旋转可知，AB=BC1，∠A=∠C1，∠ABE=∠C1BF， ∴△ABE≌△C1BF， ∴BE=BF， 又∵BA1=BC， ∴BA1-BE=BC-BF，即EA1=FC；
（2）四边形BC1DA是菱形；理由： ∵∠A1=∠ABA1=30°， ∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1， ∴四边形BC1DA是平行四边形， 又∵AB=BC1， ∴四边形BC1DA是菱形；
（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，则AG=BC=1， 在Rt△AEG中，， 由（2）知四边形BC1DA是菱形， ∴AD=AB=2， ∴。