Question

在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E。
（1）求证△ABD为等腰三角形；
（2）求证AC·AF=DF·FE

Answer 1

解：（1）由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，
而∠MCD=∠DCA，
所以∠DBA=∠DAB，
故△ABD为等腰三角形；
（2）∵∠DBA=∠DAB，
∴弧AD=弧BD，
又∵BC=AF，
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA，
∴弧CD=弧DF，
∴CD=DF，
再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①，
∠FAE=∠BDE，
∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE②
由①②得△DCA∽△FAE，
∴AC：FE=CD：AF，
∴AC·AF=CD·FE，
而CD=DF，
∴AC·AF=DF·FE。