Question

已知△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）．

（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；
（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12
         ∴ AB=13． ∵ Q是BC的中点．
       ∴ CQ=QB．又∵ PQ∥AC． ∴ AP=PB，即P是AB的中点．
       ∴ Rt△ABC中，；
（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形． 
        以CQ为直径作半圆D．
①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则 DM⊥AB，且AC=AM=5．
         ∴ MB=AB-AM=13-5=8．设CD=x，则DM=x，DB=12-x．
          在Rt△DMB中，DB²=DM²+MB²．即 (12-x) ²=x ²+8²．
       解之得：∴　CQ= 即当CQ且点P运动到切点M位置时,    
       △CPQ为直角三角形.
②当＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，
    △CPQ为直角三角形．
③当0＜CQ＜时，半圆D与直线AB相离,即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°．
此时△CPQ不可能为直角三角形
∴　当≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．