Question

A、如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q，A，B两点同时从点P出发，点A以4cm/s的速度沿射线PN方向运动，点B以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，设运动时间为ts。
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

Answer 1

解：（1）连接OQ，
∵PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PN，即∠OQP=90°，
∵OP=10，OQ=6，
∴PQ==8（cm）；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PQ=8，
∴，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°，
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四边形OCBQ为矩形，
∴BQ=OC，
∵⊙O的半径为6，
∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切，
①当AB运动到如图1所示的位置，BQ=PQ-PB=8-4t，
∵BQ=6，
∴8-4t=6，
∴t=0.5（s），
②当AB运动到如图2所示的位置，BQ=PB-PQ=4t-8，
∵BQ=6，
∴4t-8=6，
∴t=3.5（s），
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切。