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    图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，请你利用该图形构造一个以BD所在直线为对称轴且与△ABD全等的三角形。
    （1）如图2，在△ABC中，∠A=100°，∠C=50°，BD是∠ABC的角平分线，请你判断并写出AB、AD、BC之间的数量关系________________；
    （2）如图3，在△ABC中，∠C=40°，而（1）中的其他条件不变，请你判断AD、BD、BC之间的数量关系并证明。

    解：（1）BC=AB+AD；
    （2）BC=BD+AD；
    证明：在BC上截取BE=AB，连结DE，
    在BC上截取BF=BD，连结DF，
    ∵BD平分∠ABC，
    ∴∠ABD=∠CBD
    在△ABD和△EBD中，
    AB=BE，∠ABD=∠CBD，BD=BD
    ∴△ABE≌△DBE，
    ∴AD=DE，
    ∠DEB=∠A=100°，
    ∴∠DEC=80°，
    ∵∠A=100°，∠C=40°，
    ∴∠ABC=40°，
    ∵BD平分∠ABC，
    ∴∠ABD=∠CBD=20°，
    ∵BD=DF，
    ∴∠BFD=80°，
    ∠DEC=∠BFD=80°，
    ∴DE=DF，
    ∵∠DFB=80°，∠C=40°，
    ∴∠CDF=40°，
    ∴DF=CF，
    ∴AD=CF，
    ∴BC=BF+CF=BD+AD。
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B．
    （1）在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；
    （2）将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
    （3）将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•海珠区一模）如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC、BE，且AC和BE相交于点O．
    （1）求证：四边形ABCE是菱形；
    （2）如图2，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，过Q作QR⊥BD交BD于R．
    ①四边形PQED的面积是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由；
    ②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形是否可能相似？若可能，请求出线段BP的长；若不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
    （1）求证：BE=CE；
    （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•漳州）（1）问题探究
    数学课上，李老师给出以下命题，要求加以证明．
    如图1，在△ABC中，M为BC的中点，且MA=
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    BC，求证∠BAC=90°．
    同学们经过思考、讨论、交流，得到以下证明思路：
    思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…
    思路二 延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利用矩形的知识…
    思路三 以BC为直径作圆，利用圆的知识…
    思路四…
    请选择一种方法写出完整的证明过程；
    （2）结论应用
    李老师要求同学们很好地理解（1）中命题的条件和结论，并直接运用（1）命题的结论完成以下两道题：
    ①如图2，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求证：直线BD是⊙0的切线；
    ②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边上，且EM=DM，连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）作图题：
    如图1，在网格图中做出将四边形ABCD向左平移3格，再向上平移2格得到的四边形A′B′C′D′．

    （2）证明题：
    已知：如图2，在△ABC中，BE=EC，过点E作ED∥BA交AC与点G，且AD∥BC，连接AE、CD．
    求证：四边形AECD是平行四边形．

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