Question

图是二次函数的图象在x轴上方的一部分，若这段图象与x轴所围成的阴影部分面积为S，试求出S取值的一个范围．

 

Answer 1

方法一：

由题意，可知这段图象与x轴的交点为A（-2，0）、B（2，0），与y轴的交点为C（0，2）．

                                          

显然，S在面积与过A、B、C三点的⊙O半圆面积之间．

∵ =4，

=，

∴ 4<S<．

说明：关于半圆⊙O的面积大于图示阴影部分面积的证明，如下（对学生不要求）：

设P（x，y）在图示抛物线上，则

OP²=x²+y²=（4-2y）+y²=（y-1）²+3．

∵ 0≤y≤2，  ∴ 3≤OP²≤4．

∴ 点P在半圆x²+y²=3、x²+y²=4所夹的圆环内， 以及点P为内圆周点（，1）与外圆周点A、B、C．

∴ 半圆⊙O的面积大于图示阴影部分的面积． 

由于内半圆的面积为-，

∴ <S<．

方法二：

由题意，可知这段图象与x轴的交点为A（-2，0）、B（2，0），与y轴的交点为C（0，2）．

                             

显然，这段图象在图示半径为、2的两个半圆所夹的圆环内，以及过内半圆上点

P（，1）与半外圆上点A、B、C．

∴ S在图示两个半圆面积之间．

即 <S<．

∴ <S<．