Question

I是△ABC三条角平分线的交点，且CA+AI=BC．若∠BAC=80°，求∠ABC和∠AIB的大小．

Answer 1

分析：作ID⊥AC与D，IE⊥BC与E，IF⊥AB与F，由I是三角形内心，则AF+AI=BE，在线段BF上取点O，使FO=AF，△AFI≌△OFI，从而得出IO=BO，然后根据三角形的外角性质求出∠OBI的度数，再根据角平分线定义求出∠ABC，根据三角形的内角和定理求出∠AIB的大小．

解答：解：作ID⊥AC于D，IE⊥BC于E，IF⊥AB于F，
∵I是三角形内心，
∴AD=AF，CD=CE，BE=BF，AC+AI=AD+CD+AI=AF+CE+AI=BC=CE+BE，
∴AF+AI=BF，
在线段BF上取点O，使FO=AF，△AFI≌△OFI，
∴∠IAF=∠IOF，AI=IO，
又∵BF=OF+OB，
∴AI=OB，
∴OI=OB，
∴∠OBI=∠OIB，
∵∠BAC=80°，
∴∠IOF=∠IAF=

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×80°=40°，
在△IBO中，根据三角形的外角性质，∠OBI+∠OIB=∠IOA=40°，
即2∠OBI=40°，
解得∠OBI=20°，
∵IB是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠OBI=2×20°=40°，
在△ABI中，∠AIB=180°-∠IAF-∠OBI=180°-40°-20°=120°．

点评：本题考查了旋转的性质，根据三角形的内心的性质求得结论．