Question

如图，二次函数y=ax²-5ax+4a（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，连接BD。

（1）求A、B两点的坐标；
（2）若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若直线x=m把△ABD的面积分为1：2的两部分，求m的值。

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B两点 ∴ax2-5ax+4a=0 ∵a≠0 ∴x2-5x+4=0， 解得x1=1，x2=4 ∴A（1，0），B（4，0）。
（2）连结AC、CD， 由对称性知：四边形ABDC 是等腰梯形 ∴∠CAB=∠DBA 在△ABC与△BAD中，AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA ∴△ABC≌△BAD ∴∠1=∠2 ∵AD⊥BC ∴∠1=∠2=45° ∵∠BOC=90° ∴∠OCB=∠1=45° ∴OC=OB=4 ∴C（0，4） 把C（0，4）的坐标代入y=ax2-5ax+4a 得4a=4 ∴a=1 ∴二次函数的表达式为y=x2-5x+4。
（3）S△ABD=×3×4=6 设直线x=m与AD、AB分别交于M、N， 则AN=m-1 由（2）得∠1=45°，∠2=90° ∴MN=AN=m-1 ∴S△AMN=（m-1）2 当S△AMN=S△ABD时，（m-1）2=×6 　　 解得m=3（负值舍去） 当S△AMN=S△ABD时，（m-1）2=×6 解得m=+1（负值舍去） 过B作BE⊥AB交AD于E，则S△ABE=4.5， S△ABD=4， ∵4.5＞4 ∴点N在线段AB上　 ∴m＜4 综上所述，m的值为3或+1。