Question

如图，抛物线y=x²-2x+c的顶点A在直线_l：y=x-5上。
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线_l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x-5上，
∴当x=1时，y=1-5=-4，
∴A（1，-4）；
（2）△ABD是直角三角形，
将A（1，-4）代入y=x²-2x+c，可得，1-2+c=-4，∴c=-3，
∴y=x²-2x-3，∴B（0，-3）
当y=0时，x²-2x-3=0，x₁=-1，x₂=3
∴C（-1，0），D（3，0），
BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4-3）²+1²=2，AD²=（3-1）²+4²=20，BD²+AB²=AD²，
∴∠ABD=90°，
即△ABD是直角三角形；
（3）存在．
由题意知：直线y=x-5交y轴于点A（0，-5），交x轴于点F（5，0）
∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，
即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，
如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x₁，x₁-5），
则G（1，x₁-5）
则PC=|1﹣x₁|，AG=|5﹣x₁﹣4|=|1﹣x₁|PA=BD=3
由勾股定理得：（1-x₁）²+（1-x₁）²=18，
x₁²-2x₁-8=0，x₁=-2，4
∴P（-2，-7），P（4，-1）
存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形。