练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2 与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式．
    （2）求点C在这条抛物线上时m的值．
    （3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．
    ①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．
    ②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．
    （参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，））
    【答案】分析：（1）将A（-1，0）、B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx-2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
    （2）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入y=x2-x-2，即可求出m的值；
    （3）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，-2），再根据二次函数的性质求出抛物线y=x2-x-2的对称轴为直线x=，然后根据点D在直线x=上，即可求出点D的坐标；
    ②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线x=上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．
    解答：解：（1）∵抛物线经过点A（-1，0）、B（4，0），
    ∴
    解得
    ∴抛物线所对应的函数关系式为y=x2-x-2；

    （2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，
    ∴CM=MN=2，
    ∴点C的坐标为（m，2），
    ∵点C（m，2）在抛物线上，
    ∴m2-m-2=2，
    解得m1=，m2=．
    ∴点C在这条抛物线上时，m的值为或；

    （3）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，
    ∴∠CND=90°，DN=CN=CM=MN，
    ∴CD=CN=2CM=2MN，
    ∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，
    ∴点D的坐标为（m，-2）．
    又∵抛物线y=x2-x-2的对称轴为直线x=，点D在这条抛物线的对称轴上，
    ∴点D的坐标为（，-2）；

    ②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：
    如果E点在E1的位置时，
    ∵点D的坐标为（m，-2），MN=ME1=2，点N的坐标为（m+2，0），
    ∴点E1的（m-2，0），
    ∵点E1在抛物线y=x2-x-2的对称轴x=上，
    ∴m-2=，解得m=；
    如果E点在E2的位置时，
    ∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
    ∴点E2的（m+2，-4），
    ∵点E2在抛物线y=x2-x-2的对称轴x=上，
    ∴m+2=，解得m=-；
    如果E点在E3的位置时，
    ∵点D的坐标为（m，-2），
    ∴点E3的（m，2），
    ∵点E3在抛物线y=x2-x-2的对称轴x=上，
    ∴m=；
    如果E点在E4的位置时，
    ∵点D的坐标为（m，-2），点N的坐标为（m+2，0），
    ∴点E4的（m+4，-2），
    ∵点E4在抛物线y=x2-x-2的对称轴x=上，
    ∴m+4=，解得m=-；
    综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=-或m=-或m=或m=．
    点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）②要注意分析题意分情况讨论E点可能的位置，这是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
    5
    29
    5
    29
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
    5
    5
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案