Question

如图1，已知直线y=-x与抛物线y=-x²+6交于A，B两点。

（1）求A，B两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由。

Answer 1

解：（1）依题意得，解之得， ∴A（6，-3），B（-4，2）； （2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点， 交AB于M（如图1）， 由（1）可知：OA=3，OB=2， ∴AB=5， ∴， 过B作BE⊥x轴，E为垂足， 由△BEO∽△OCM，得：， ∴OC=， 同理：， ∴， 设CD的解析式为y=kx+b（k≠0） ∴，∴， ∴AB的垂直平分线的解析式为：； （3）若存在点P使△APB的面积最大， 则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线y=-x+m上， 并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）， ∴， ∴， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴， ∴m=， ∴P（1，） 在直线GH：中， ∴， ∴GH=， 设O到GH的距离为d， ∵， ∵， ∴d=， 又∵由AB∥GH， ∴P到AB的距离等于O到GH的距离d， ∴S最大面积=。