Question

如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．
（1）求证：点F是CD边的中点；
（2）求证：∠MBC=2∠ABE．

Answer 1

证明：（1）∵正方形ABCD中AD=AB，∠ADC=∠BAD=90°     ∴∠1+∠2=90°     ∵AF⊥BE     ∴∠3+∠2=90°      ∴∠1=∠3     在△ADF和△BAE中           ∴△ADF≌△BAE      ∴DF=AE      ∵AE=DE=AD ，AD=AB      ∴DF=CF=AB     ∴点F是CD边的中点 （2）连结BF，并延长交AD的延长线于点N      ∵正方形ABCD中AD∥BC      ∴∠4=∠N     在△NDF和△BCF中           ∴△NDF≌△BCF      ∴DN=CB      ∵正方形ABCD中AD=BC=CD      ∴DN=CD     ∵BM=DM+CD      ∴BM=DM+DN=MN     ∴∠5=∠N=∠4 ，即∠MBC=2∠4      在△ADF和△BCF中               ∴△ADF≌△BCF     ∴∠1=∠4     ∵∠1=∠3     ∴∠1=∠4      ∴∠MBC=2∠3=2∠ABE