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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知△ABC中，AB=AC=a，BC=10，动点P沿CA方向从点C向点A运动，同时，动点Q沿CB方向从点C向点B运动，速度都为每秒1个单位长度，P、Q中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC，交AB边于点D，连接DQ．设P、Q的运动时间为t．
    （1）直接写出BD的长；（用含t的代数式表示）
    （2）若a=15，求当t为何值时，△ADP与△BDQ相似；
    （3）是否存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ=1：4：4的时刻，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据PD∥BC，AB=AC，即可求出BD；
    （2）根据平行线得出比例式，求出PD，根据△ADP和△BDQ，得出比例式，代入即可求出答案；
    （3）假设存在，根据设四边形CPDQ的边CQ上的高是h，推出△BDQ的边BQ上的高是h，△ABC的边BC上的高是3h，根据△BDQ和△ABC的面积之间的关系，求出t的值，根据PD∥BC，得出比例式，代入求出a即可．
    解答：解：（1）BD=t．

    （2）∵PD∥BC，
    ∴
    AP
    AC
    =
    PD
    BC
    ，
    ∵AC=15，BC=10，CP=t，
    ∴PD=10-
    2
    3
    t，
    ∵△ADP和△BDQ相似，
    ∴
    QB
    AP
    =
    BD
    PD
    或
    QB
    PD
    =
    BD
    AP

    ∴
    10-t
    15-t
    =
    t
    10-
    2
    3
    t
    或
    10-t
    10-
    2
    3
    t
    =
    t
    15-t

    解得：t1=4，t2=15（舍去），t3=15＞10（舍去），t4=6
    答：t=4或6时，△ADP与△BDQ相似．

    （3）存在，
    理由是：假设存在S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ=1：4：4，
    即
    S△APD
    S△ABC
    =
    4
    1+4+4
    =
    4
    9
    ，
    ∵PD∥BC，
    ∴△APD∽△ACB，相似比是
    2
    3
    ，
    ∴
    AP
    AC
    =
    2
    3
    ，
    设四边形CPDQ的边CQ上的高是h，
    则△BDQ的边BQ上的高是h，△ABC的边BC上的高是3h，
    ∴
    1
    2
    BQ×h=
    1
    9
    ×
    1
    2
    BC×3h，
    （10-t）=
    1
    9
    ×3×10，
    ∴t=
    20
    3
    ，
    ∵AP=a-t=a-
    20
    3
    ，AC=a，
    ∴
    a-
    20
    3
    a
    =
    2
    3
    ，
    代入解得：a=20，
    答：存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在S△BDQ：S△ADP：S梯形CPDQ=1：4：4的时刻，a的值是20．
    点评：本题考查了相似三角形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，关键是根据题意得出等式或方程，此题题型不错，但有一定的难度．
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    12
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