Question

如图，⊙O的半径是5，P是⊙O外一点，PO=8，∠OPA=30°，求AB和PB的长．

Answer 1

解：延长PO交⊙O与点C，过点O作OE⊥AB于E
根据题意，∠OPA=30°，且PO=8，在Rt△OPE中，
OE=OP=4；
在Rt△OBE中，OB=5，OE=4，
则BE=3，即AB=2BE=6；
又因为PD•PC=PB•PA，
即PD•PC=PB•（PB+AB），
即得PB=．
即AB=6；
PB=．
分析：延长PO交⊙O于点C，过点O作OE⊥AB于E，∠OPA=30°，PO=8，可得OE=4；在Rt△OBE中，OB为半径，可以得出BE的长度，即可得到AB；再根据割线定理，有PD•PC=PB•PA，即可得出PB．
点评：本题综合考查了垂径定理和割线定理在圆中的应用．