Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C， ∵A（0，2），△AOB为等边三角形， ∴AB=OB=2，∠BAO=60°， ∴BC=，OC=AC=1， 即B（）；
（2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时， ∵∠PAQ=∠OAB=60°， ∴∠PAO=∠QAB， 在△APO和△AQB中， ∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB， ∴△APO≌△AQB总成立， ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立， ∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°；
（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上， ∴AO与BQ不平行， ①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方， 此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形， 当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°， 又OB=OA=2，可求得BQ=， 由（2）可知，△APO≌△AQB， ∴OP=BQ=， ∴此时P的坐标为（-，0）； ②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方， 此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形， 当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°， 又AB= 2，可求得BQ=2， 由（2）可知，△APO≌△AQB， ∴OP=BQ=2， ∴此时P的坐标为（2，0）， 综上所述，P的坐标为（-，0）或（2，0）。