Question

21、如图，在△ABC中，∠A，∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．
（1）点D是△ABC的

心；
（2）求证：四边形DECF为菱形．

Answer 1

分析：（1）由AD、BD分别是∠A、∠B的平分线，可知点D是△ABC的内心；
（2）连接CD，根据平行线的性质，角平分线的性质证明?DECF为菱形．

解答：解：（1）点D是△ABC的内心．（2分）
（2）证法一：连接CD，（3分）
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，（4分）
又∵点D是△ABC的内心，
∴CD平分∠ACB，即∠FCD=∠ECD，（5分）
又∠FDC=∠ECD，
∴∠FCD=∠FDC
∴FC=FD，（6分）
∴?DECF为菱形．（7分）

证法二：
过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．（3分）
∵AD，BD分别平分∠CAB，∠ABC，
∴DI=DG，DG=DH．
∴DH=DI．（4分）
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，（5分）
∴S_□DECF=CE•DH=CF•DI，
∴CE=CF．（6分）
∴?DECF为菱形．（7分）

点评：解答此题需要熟知以下概念：
（1）三角形的内心：三角形三个内角平分线的交点叫三角形的内心；
（2）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；
（3）菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；