Question

已知梯形中，，，是腰上的一点，连结

①如果，，，求的度数；

②设和四边形的面积分别为和，且，试求的值．

Answer 1

答案：
解析：

设，则 解法1：如图，延长、交于点 ，， ∴，又， ∴BA＝4k， ∴，为的中点 又 ∴，又 ∴为等边三角形 故 解法2：如图 作分别交、于点、 则，得平行四边形 同解法1可证得为等边三角形 故 解法3：如图 作交于，交的延长线于 作，分别交、于点、 则，得矩形 ∴， 又 ∴，故为、的中点 以下同解法1可得是等边三角形 故 解法4：如图， 作，交于，作，交于，得平行四边形，且 读者可自行证得是等边三角形，故 解法5：如图 延长、交于点，作，分别交、于点、，得平行四边形 可证得为的中点，则，故 得为等边三角形，故 解法6：如图(补形法)， 读者可自行证明是等边三角形， 得 (注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等) 设，则 解法1(补形法)如图 补成平行四边形，连结，则 设，则， 由得， ，∴ ∴ ∴ 解法2：(补形法)如图，延长、交于点， ∴ ∴，，又 ∴ 设，则，， ∴，∴ 解法3(补形法)如图 连结，作交延长线于点 连结 则∽，故(1) ， ∴ 故(2) 由(1)、(2)两式得 即 解法4：(割补法)如图 连结与的中点并延长交延长线于点，如图，过、分别作高、，则且，∴ ∴，又 ∴，∴，故．

提示：

本题可以根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质来解决，解题关键是作辅助线，构造相似三角形．