Question

如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．

(1)求证：△DEF为等腰直角三角形；

(2)若E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)连接AD． 　　因为AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点， 　　所以AD⊥BC，∠B＝∠BAD＝∠DAC＝45°． 　　所以BD＝AD． 　　在△BDE和△ADF中， 　　因为 　　所以△BDE≌△ADF．(SAS) 　　所以ED＝FD，∠BDE＝∠ADF． 　　所以∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°． 　　所以△DEF为等腰直角三角形． 　　(2)若E、F分别是AB、CA延长线上的点，如图所示．连接AD． 　　因为AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点， 　　所以∠DAC＝∠BAD＝∠ABD＝45°，AD⊥BC． 　　所以AD＝BD，∠DAF＝∠DBE＝135°． 　　在△DAF和△DBE中， 　　因为 　　所以△DAF≌△DBE．(SAS) 　　所以FD＝ED，∠FDA＝∠EDB． 　　所以∠EDF＝∠EDB＋∠BDF＝∠FDA＋∠BDF＝∠ADB＝90°． 　　所以△DEF仍为等腰直角三角形．