Question

已知抛物线上有不同的两点E(k＋3，－k²＋1和F(－k－1，－k²＋1)．

(1)求抛物线的解析式．

(2)如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m(m＞0)，BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．

(3)当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)抛物线的对称轴为．　　(1分) 　　∵抛物线上不同两个点E(k＋3，－k2＋)1和F(－k－1，－k2＋1)的纵坐标相同， 　　∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则，且k≠－2． 　　∴抛物线的解析式为．　　(2分) 　　(2)抛物线与x轴的交点为A(4，0)，与y轴的交点为B(0，4)， 　　∴AB＝，AM＝BM＝．　　(3分) 　　在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°， 　　在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°， 　　在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°． 　　∴∠BCM＝∠AMD． 　　故△BCM∽△AMD．　　(4分) 　　∴，即，． 　　故n和m之间的函数关系式为(m＞0)．　　(5分) 　　(3)∵F(－k－1，－k2＋1)在上， 　　∴， 　　化简得，k2－4k＋3＝0，∴k1＝1，k2＝3． 　　即F1(－2，0)或F2(－4，－8)．　　(6分) 　　①MF过M(2，2)和F1(－2，0)，设MF为y＝kx＋b， 　　则解得，∴直线MF的解析式为． 　　直线MF与x轴交点为(－2，0)，与y轴交点为(0，1)． 　　若MP过点F(－2，0)，则n＝4－1＝3，m＝； 　　若MQ过点F(－2，0)，则m＝4－(－2)＝6，n＝．　　(7分) 　　②MF过M(2，2)和F1(－4，－8)，设MF为y＝kx＋b， 　　则解得，∴直线MF的解析式为． 　　直线MF与x轴交点为(，0)，与y轴交点为(0，)． 　　若MP过点F(－4，－8)，则n＝4－()＝，m＝； 　　若MQ过点F(－4，－8)，则m＝4－＝，n＝．　　(8分) 　　故当或时，∠PMQ的边过点F．