Question

含30°角的直角三角板 ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α＜90°），再沿∠A的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E。
（1）求证：△ACM≌△A′CN；
（2）当∠α=30°时，找出ME与MB′的数量关系，并加以说明。

Answer 1

解：（1）∵△ABC经旋转和翻折得到△A′B′C， ∴∠A=∠A′AC=A′C ∠ACB=∠A′CB′， ∴∠ACB-∠MCN =∠A′CB′-∠MCN， 即∠ACM=∠A′CN 在△ACM和△A′CN中， ∠A=∠A′，AC=A′C，∠ACM=∠A′CN， ∴△ACM≌△A′CN（A.S.A）； （2）当∠α=30°时，ME=MB′， 理由如下： ∵△ABC经旋转和翻折得到△A′B′C， ∴∠B′=∠B=30°， ∵∠α=30°， ∴∠MCN=30° ∴∠B′ME=∠MCN+∠B=30°+30°=60°， ∴∠MEB′=180°-∠B′ME-∠B′=180°-60°-30°=90°， ∴在Rt△MEB′中有ME=MB′， ∴当∠α=30°时，ME=MB′。