Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点，以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S。
（1）求点P的坐标；
（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式；
（3）若在直线y=-x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围；
（4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b值。

Answer 1

解：（1）作于K， 则， ∴KO=6， ∴P（6，2）； （2）当时，如图①，S=0， 当时，如图②， 设AC交PM于H， ∴ 即， 或， 当时，如图③， 设AC交PN于H， ∴，或， 当时，如图④， S=4； （3）（提示：以OM为直径作圆，当直线与此圆相切时，）； （4）b的值为4，5，。 （提示：当PC=PD时，b=4，当PC=CD时，（舍），，当时，）