Question

已知，如图，AB是⊙O的直径，点E是的中点，连接BE交AC于点G，BG的垂直平分线CF交BG于H交AB于F点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=8，BC=6，求BE的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AE，根据E为弧AD中点得出∠4=∠ABE，根据线段垂直平分线性质得出CG=BC，推出∠1=∠2，推出∠3+∠4=90°，根据∠1=∠3推出∠2+∠EBA=90°，根据切线判定推出即可；
（2）求出AC长，求出AG=4，证△EAG∽△EBA推出=，设AE=x，BE=2x，在Rt△AEB中，根据勾股定理求出x，即可求出BE．
解答：（1）证明：连接AE，
∵C在BG的垂直平分线CF上（已知），
∴CB=CG，
∴∠1=∠2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠3=∠1=∠2，
∴∠2+∠4=90°，
∵，
∴∠ABE=∠4，
∴∠2+∠ABE=90°，
即∠ABC=90°，
∵OB是半径，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理，可得 AC==10，
∵CG=CB=6，
∴AG=10-6=4，
∵∠E=∠E，∠4=∠ABE，
∴△AEG∽△BEA，
∴===，
设AE=x，BE=2x．
在Rt△AEB中，由勾股定理，可得 x²+（2x）²=8²．解得：x=，
∴BE=2x=．
点评：本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线、切线的判定、相似三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．