Question

用两个全等的等边△ABD和△BCD拼成如图的菱形ABCD．现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点D重合，两边分别与DA、DB重合．将三角板绕点D逆时针方向旋转．
（1）如图，当三角板的两边分别与菱形的两边AB、CB相交于点E、F时，探求BE、BF、AD的数量关系，并说明理由；
（2）继续旋转三角板，当两边DH、DC分别交AB、BC的延长线于点E、F时，画出旋转后相应的图形，并直接写出BE、BF、AD满足的数量关系式．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由用两个全等的等边△ABD和△BCD拼成如图的菱形ABCD．现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点D重合，易证得△ADE≌△BDF，继而证得结论；
（2）由题意画出图形，易证得△BDE≌△CDF，继而证得结论．

解答：（1）证明：∵△ABD和△BCD是等边三角形，
∴AD=BD，∠A=∠ADB=∠DBF=60°，
∵∠EDF=60°，
∴∠ADE+∠BDE=∠BDE+∠BDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，

∠A=∠DBF AD=BD ∠ADE=∠BDF

，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE=BF，
∴BE+BF=AE+BF=AB=AD；

（2）∵△ABD和△BCD是等边三角形，
∴BD=CD，∠ABD=∠BDC=∠BCD=60°，
∴∠DBE=∠DCF=120°
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDE=∠CDE+∠CDF=60°
∴∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△CDF中，

∠BDE=∠CDF BD=CD ∠DBE=∠DCF

，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴BE=CF，
∴BF-BE=BF-CF=BC=AD．

点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．