Question

已知：1989x²=1991y²=1993z²，x＞0，y＞0，z＞0，且

1

x

+

1

y

+

1

z

=1．
求证：

1989x+1991y+1993z

=

1989

+

1991

+

1993

．

Answer 1

分析：先设1989x²=1991y²=1993z²=k，然后向

1989x+1991y+1993z

和

1989

+

1991

+

1993

的方向转化，最终证明相等．

解答：证明：已知：1989x²=1991y²=1993z²，
所以设1989x²=1991y²=1993z²=k（k＞0），则
1989=

k

x2

，1991=

k

y2

，1993=

k

z2

，
1989x=

k

x

，1991y=

k

y

，1993z=

k

z

．
∵

1

x

+

1

y

+

1

z

=1．
∴

1989x+1991y+1993z

=

k( 1 x + 1 y + 1 z )

=

k

．
又∵

1989

+

1991

+

1993

=

k

x

+

k

y

+

k

z

=

k

．
所以

1989x+1991y+1993z

=

1989

+

1991

+

1993

．

点评：本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．