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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    设M1、M2是△ABC的BC边上的点，且BM1=CM2．任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2．试证：
    AB
    AP
    +
    AC
    AQ
    =
    AM1
    AN1
    +
    AM2
    AN2
    ．
    分析：可过点A作PQ的平行线交直线BC于E．根据平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可证明
    AB
    AP
    +
    AC
    AQ
    =
    AM1
    AN1
    +
    AM2
    AN2
    ．
    解答：证明：如图，若PQ∥BC，易证结论成立．
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    若PQ与BC不平行，
    设PQ交直线BC于D．过点A作PQ的平行线交直线BC于E．
    由BM1=CM2，可知BE+CE=M1E+M2E，
    易知
    AB
    AP
    =
    BE
    DE
    ，
    AC
    AQ
    =
    CE
    DE
    ，
    AM1
    AN1
    =
    M1E
    DE
    ，
    AM2
    AN2
    =
    M2E
    DE
    ．
    则
    AB
    AP
    +
    AC
    AQ
    =
    BE+CE
    DE
    =
    M1E+M2E
    DE
    =
    AM1
    AN1
    +
    AM2
    AN2
    ．
    所以，
    AB
    AP
    +
    AC
    AQ
    =
    AM1
    AN1
    +
    AM2
    AN2
    ．
    点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是添加一条平行线，将求证式中的四个线段比“通分”，使公分母为DE，于是问题迎刃而解．
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下面材料，并解答下列各题：
    在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
    ①已知a和b，求N，这是乘方运算；
    ②已知b和N，求a，这是开方运算；
    现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
    定义：如果ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记着b=logaN．
    例如：因为23=8，所以log28=3；因为2-3=
    1
    8
    ，所以log2
    1
    8
    =-3    ．
    （1）根据定义计算：
    ①log381=
     
    ；②log33=
     
    ；③log31=
     
    ；
    ④如果logx16=4，那么x=
     
    ．
    （2）设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
    ∵ax•ay=ax+y，∴ax+y=M•N∴logaMN=x+y，
    即logaMN=logaM+logaN
    这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：
    logaM1M2M3…Mn=
     
    （其中M1、M2、M3、…、Mn均为正数，a＞0，a≠1）
    loga
    M
    N
    =
     
    （a＞0，a≠1，M、N均为正数）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
    ①已知a和b，求N，这是乘方运算；
    ②已知b和N，求a，这是开方运算；
    现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
    定义：如果ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作b=logaN．
    例如：求log28，因为23=8，所以log28=3；又比如∵2-3=
    1
    8
    ，∴log2
    1
    8
    =-3    ．
    （1）根据定义计算：
    ①log381=
     
    ；②log101=
     
    ；③如果logx16=4，那么x=
     
    ．
    （2）设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
    ∵ax•ay=ax+y，∴ax+y=M•N∴logaMN=x+y，即logaMN=logaM+logaN
    这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：logaM1M2M3…Mn=
     
    ．
    （其中M1、M2、M3、…、Mn均为正数，a＞0，a≠1）．
    （3）请你猜想：loga
    M
    N
    =
     
    （a＞0，a≠1，M、N均为正数）．

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    科目：初中数学 来源：2001年全国中考数学试题汇编《有理数》（03）（解析版） 题型：解答题

    （2001•泰州）在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
    ①已知a和b，求N，这是乘方运算；
    ②已知b和N，求a，这是开方运算；
    现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
    定义：如果ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作b=logaN．
    例如：求log28，因为23=8，所以log28=3；又比如∵，∴．
    （1）根据定义计算：
    ①log381=______；②log101=______；③如果logx16=4，那么x=______．
    （2）设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
    ∵ax•ay=ax+y，∴ax+y=M•N∴logaMN=x+y，即logaMN=logaM+logaN
    这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：logaM1M2M3…Mn=______．
    （其中M1、M2、M3、…、Mn均为正数，a＞0，a≠1）．
    （3）请你猜想：=______（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．

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    科目：初中数学 来源：2001年江苏省泰州市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （2001•泰州）在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
    ①已知a和b，求N，这是乘方运算；
    ②已知b和N，求a，这是开方运算；
    现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
    定义：如果ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作b=logaN．
    例如：求log28，因为23=8，所以log28=3；又比如∵，∴．
    （1）根据定义计算：
    ①log381=______；②log101=______；③如果logx16=4，那么x=______．
    （2）设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
    ∵ax•ay=ax+y，∴ax+y=M•N∴logaMN=x+y，即logaMN=logaM+logaN
    这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：logaM1M2M3…Mn=______．
    （其中M1、M2、M3、…、Mn均为正数，a＞0，a≠1）．
    （3）请你猜想：=______（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．

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