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    如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．点O为线段BC上的动点，连接OD，以O为圆心，OB为半径的⊙O分别交线段AB、OD于点P、M，交射线BC于点N，连接AC、MN，AC交线段OD于点E．
    （1）求梯形对角线AC的长．
    （2）如图2，当点O在线段BC上运动到使⊙O与对角线AC相切时，求⊙O的半径OB．
    （3）如图3，当点O在线段BC上运动到使⊙O与线段BC的延长线交于点N时，以C为圆心，CN为半径作⊙C，则⊙C与⊙O相内切，求⊙C的半径CN的最大值．
    （4）在点O在线段BC上运动的过程中，是否存在MN∥AC的情况？若存在，求出⊙O的半径OB；若不存在，说明理由．

    【答案】分析：（1）过点A作AH⊥BC于点H．先由AB及cosB求得BH，再求得AH、HC，则AC的长也可求出．
    （2）由△OCG∽△ACH得=，设OB=r，OC=6-r，代入可求得r的值．
    （3）当点O在线段BC上运动到使P、A重合时，⊙C的半径CN最大．过点O作OF⊥AB于点F，先在△OBF中求得OB的长，再由BC求得OC的长，则CN的长即可求出．
    （4）在点O在线段BC上运动的过程中，不存在MN∥AC的情况．可假设MN∥AC，用反证法证得矛盾．
    解答：解：（1）如图1，
    过点A作AH⊥BC于点H．
    ∵在直角△ABH中，cosB=．
    ∴=，
    ∵AB=5．
    ∴BH=3AH=4．
    ∵BC=6，
    ∴CH=3．
    ∵AH⊥BC，DC⊥BC，
    ∴AH∥DC．
    ∵AD∥BC，
    ∴四边形AHCD是矩形．
    ∴AD=CH=3，DC=AH=4．
    ∴AC=5．

    （2）如图2，连接OG．
    ∵⊙O与对角线AC相切，
    ∴OG⊥AC．∴△OCG∽△ACH．
    ∴=．
    设OB=r，则OC=6-r．
    ∴=．∴r=，即OB=．

    （3）如图3，
    当点O在线段BC上运动到使P、A重合时，⊙C的半径CN最大．
    过点O作OF⊥AB于点F．
    ∵OA=OB，AB=5，
    ∴BF=．
    ∵cosB=，
    ∴=．
    ∴OB=．
    ∴ON=．
    ∵BC=6，
    ∴OC=6-=．
    ∴CN=ON-OC=-=．

    （4）如图4，
    在点O在线段BC上运动的过程中，不存在MN∥AC的情况．
    理由：假设MN∥AC，则=．
    ∵OM=ON，
    ∴OC=OE．
    ∵AD∥OC，
    ∴=．
    ∴AD=DE．
    ∵AD=3，
    ∴DE=3．
    设OB=r，则OC=OE=6-r，OD=OE+ED=6-r+3=9-r．
    ∵在直角△OCD中，OC2+CD2=OD2．
    ∴42+（6-r）2=（9-r）2．
    ∴r=．
    ∵△OBP∽△ABC，
    ∴=．
    ∴=．
    ∴BP=r=×=＞AB=5．
    ∴与点P在AB上矛盾．
    ∴在点O在线段BC上运动的过程中，不存在MN∥AC的情况．
    点评：本题考查了相似三角形的判定及性质及勾股定理的应用，综合性强，难度较大，同学们要细心作答．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、如图1，在梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC，BD交于点P，则s△PAB=S△PDC，请你用梯形对角线的这一特殊性质，解决下面问题．
    在图2中，点E是△ABC中AB边上的任意一点，且AE≠BE，过点E画一条直线，把△ABC分成面积相等的两部分，保留作图痕迹，并简要说明你的方法．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
    		2
    ，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．
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    （1）求等腰梯形DEFG的面积；
    （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
    探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
    探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、如图，已知：AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是
    等底等高的三角形面积相等

    规定；若一条直线l把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线l叫做这个图形的等积直线．根据此定义，在图1中易知直线为△ABC的等积直线．
    （1）如图2，在矩形ABCD中，直线l经过AD，BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该矩形的等积直线
    是
    （填“是”或“否”）．在图2中再画出一条该矩形的等积直线．（不必写作法）
    （2）如图3，在梯形ABCD中，直线l经过上下底AD、BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该梯形的等积直线
    是
    （填“是”或“否”）．
    （3）在图3中，过M、N的中点O任作一条直线PQ分别交AD，BC于点P、Q，如图4所示，猜想PQ是否为该梯形的等积直线？请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•黑河）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
    （1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
    （2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•乐山）阅读下列材料：
    如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b．若
    AM
    MB
    =
    m
    n
    ，则有结论：MN=
    bm+an
    m+n
    ．
    请根据以上结论，解答下列问题：
    如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1，PP2，PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3．
    （1）若点P为线段EF的中点．求证：PP1=PP2+PP3；
    （2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．

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