Question

四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如图的平面直角坐标系中，A（10，0），B（8，6），直线x=4与直线AC交于P点，与x轴交于H点；
（1）直接写出C点的坐标，并求出直线AC的解析式；
（2）求出线段PH的长度，并在直线AC上找到Q点，使得△PHQ的面积为△AOC面积的，求出Q点坐标；
（3）M点是直线AC上除P点以外的一个动点，问：在x轴上是否存在N点，使得△MHN为等腰直角三角形？若有，请求出M点及对应的N点的坐标，若没有，请说明理由。

Answer 1

解：（1）作CE⊥OA于点E，BF⊥OA于F，
∴∠CEO=∠BFA=90°，CE∥BF，
∴OA∥BC，
∴四边形ECBF是平行四边形，
∴CE=BF，
∵四边形OABC是等腰梯形，
∴OC=AB，
∴△OEC≌△AFB，
∴OE=AF，
∵A（10，0），B（8，6），
∴0A=10，OF=8，BF=6，
∴OE=2
∴C（2，6）
∵直线AC过点A（10，0），C（2，6），
设直线AC解析式为：y=kx+b（k≠0）
根据题意得：
解得：k=，b=，
∴直线AC：y=x+
（2）将x=4代入上述解析式，y=，即PH=
∵Q点在直线AC上，设Q点坐标为（t，t+）
由题知：PH·|t﹣4|=×OA·|yC|，
解得t=或，
即满足题意的Q点有两个，分别是Q₁（，）或Q₂（，）
（3）存在满足题意的M点和N点。
设M点坐标为（a，a+），
当a＞10时，无满足题意的点；
①若∠MNH=90°，则MN=HN，即a+=|a﹣4|，
解得a=或﹣14，
此时M点坐标为（，）或（﹣14，18）；                        
②若∠HMN=90°，则过M作MM'⊥x轴交于M'点，
则H M'=M'N=M M'，
综上，当M点坐标为（，）时，N点坐标为N₁（，0）或N₂（，0）；
当M点坐标为（﹣14，18）时，N点坐标为N₃（﹣14，0）或N₄（﹣32，0）。