Question

如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证：
（1）AA′、BB′、CC′交于一点P；
（2）设△ABC三边中点分别为A₁、B₁、C₁，则P为△A₁B₁C₁的外心．

Answer 1

证明：（1）设圆O半径为R．
由△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′，
知：BC′=B′C=R，∠C′BA=∠C′AB=∠OAB，∠B′CA=∠B′AC=∠OAC，
∴∠C′BA+∠B′CA=∠OAB+∠OAC=∠BAC，
∴∠C′BC+∠B′CB=∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°，
∴BC′∥B′C，
∴BB′，CC′互相平分，交于中点，
同理CC′，AA′互相平分，交于中点，
∴AA′、BB′、CC′交于一点P；

（2）∵P为CC′中点，A₁为BC中点，
∴PA₁=

1

2

B′C=

1

2

R，
同理PB₁=

1

2

R，PC₁=

1

2

R，
∴PA₁=PB₁=PC₁，
∴P是△A₁B₁C₁的外心．