Question

已知抛物线与x轴的一个交点为A(-1，0)，与y轴的正半轴交于点C。

（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
（3）坐标平面内是否存在点，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）对称轴是直线：x=1，点B的坐标是(3，0)．
（2）如图，连接PC，
∵点A、B的坐标分别是A(-1，0)、B (3，0)，
∴AB=4
∴
在Rt△POC中，∵OP=PA-OA=2-1=1，
∴
∴b=
当时，
∴
∴
（3）存在
理由：如图，连接AC、BC，设点M的坐标为．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．
由⑵知，AB=4，∴|x|=4，
∴x=±4．
∴点M的坐标为．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90°．
∵四边形AMBC是平行四边形，
∴AC=MB，且AC∥MB．
∴∠CAO=∠MBN
∴△AOC≌△BNM．
∴BN=AO=1，MN=CO=．
∵OB=3，
∴0N=3-1=2．
∴点M的坐标为．
综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平
行四边形．其坐标为。