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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90°得到Rt△BOC，（点A旋转到点B的位置），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3，
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）连接BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；
    （3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
    1
    3
    ？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
    （1）由题意得：B（0，2），C（2，0），对称轴x=3，
    设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+k，
    ∵抛物线经过B（0，2），C（2，0），
    ∴2=9a+k，0=a+k（2分）
    解得：a=
    1
    4
    ，k=-
    1
    4
    ，
    ∴y=
    1
    4
    （x-3）2-
    1
    4
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x+2    ；

    （2）设对称轴与x轴的交点为N，
    由图可知：CD=2，
    S△BCD=
    1
    2
    •CD•OB=
    1
    2
    ×2×2=2，
    S△pCD=
    1
    2
    CD•PN=
    1
    2
    CD•|Py|=
    1
    2
    ×2×
    1
    4
    =
    1
    4
    ，
    ∴S四边形PCBD=S△BCD+S△pCD=2+
    1
    4
    =
    9
    4
    ；

    （3）假设存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
    1
    3
    ．
    即：S△MCD=
    1
    3
    S四边形PCBD，
    1
    2
    CD•|My|=
    9
    4
    ×
    1
    3
    ，
    |My|=
    3
    4
    ，（6分）
    又∵点M在抛物线上，
    ∴|
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x+2    |=
    3
    4
    ，
    ∴
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x+2    =±
    3
    4
    ，
    ∴x2-6x+8=±3，
    ∴x2-6x+5=0或x2-6x+11=0，
    由x2-6x+5=0，
    得x1=5，x2=1，
    由x2-6x+11=0，
    ∵b2-4ac=36-44=-8＜0，
    ∴此方程无实根．
    当x1=5时，y1=
    3
    4
    ；当x2=1时，y2=
    3
    4
    ．
    ∴存在一点M（5，
    3
    4
    ），或（1，
    3
    4
    ）使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
    1
    3
    ．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=-
    2
    3
    x2+bx+c    的图象经过B、C两点．
    （1）直接写出点B、点C坐标；
    （2）求该二次函数的解析式；
    （3）结合函数的图象探索，直接写出不等式-
    2
    3
    x2+bx+c≥0    的解集为______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）2+m交直线y=kx于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．（点A，E，F两两不重合）
    （1）请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示）
    （2）当点A运动到使EF与x轴平行时（如图2），求线段AC与OF的比值；
    （3）当点A运动到使点F的位置最低时（如图3），求线段AC与OF的比值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点D（0，4）．
    （1）求该二次函数的表达式；
    （2）写出该抛物线的顶点C的坐标；
    （3）求四边形ACBD的面积？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
    （1）求点的坐标：A______，B______，C______，______，AD的中点E______；
    （2）求以E为顶点，对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的解析式；
    （3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
    （4）△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=-
    1
    2
    x2+bx+c    与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=
    1
    2
    ，OA=2    ，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）．
    （1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
    （2）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）点M是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点N，使A、D、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的M点坐标；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，点E在边DC上，且DE=4cm．动点P从点A开始沿着A?B?C?E的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q同时从点A同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，以△ABC的边AC为直径的半圆交AB于D，三边长a，b，c能使二次函数y=
    1
    2
    (c+a)x2-bx+
    1
    2
    (c-a)    的顶点在x轴上，且a是方程z2+z-20=0的一个根．
    （1）证明：∠ACB=90°；
    （2）若设b=2x，弓形面积S弓形AED=S1，阴影部分面积为S2，求（S2-S1）与x的函数关系式；
    （3）在（2）的条件下，当b为何值时，（S2-S1）最大？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
    （1）求抛物线的顶点坐标；
    （2）设直线y=x+3与y轴的交点是D，在线段AD上任意取一点E（不与A、D重合），经过A、B、E三点的圆交直线AC于点F，试判断△BEF的形状．

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