Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D，连结OE、AC，已知∠POE＝2∠CAB，∠P＝∠E．

(1)求证：CE⊥AB；

(2)求证：PC是⊙O的切线；

(3)若BD＝2OD，且PB＝9，求⊙O的半径及tan∠P的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结OC，则有∠COB=2∠CAB，又∠POE=2∠CAB，∴∠CCD=∠EOD，又OC=OE，OD=OD，∴△COD≌△EOD，∴∠ODC=∠ODE=，即CE⊥AB 　　(2)∵CE⊥AB，∠P=∠E，∴∠P＋∠PCD=∠E+∠PCD=，又∠OCD=∠E，∴∠OCD+∠PCD=∠PCO＝，∴PC是选⊙O的切线 　　(3)设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，∵CD⊥OP，OC⊥PC，由Rt△OCD∽Rt△PPC得OC2=OD·OP，即(3x)2=x·(3x+9)，解之得x＝，∴⊙O的半径r＝，同理可得PC2＝PD·PO＝(PB+BD)·(PB+OB)=(9+3)·(+9)=162，∴PC=9，tan∠P=