Question

如图抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，－1)．且对称抽x＝1．

(1)求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3．若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由(使用图1)；

(3)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵抛物线与y轴交于点C(0．－1)．且对称抽x＝l． 　　∴，解得：， 　　∴抛物线解析式为y＝x2－x－1， 　　令x2－x－1＝0，得：x1＝－1，x2＝3， 　　∴A(－1，0)，B(3，0)， 　　(2)设在x轴下方的抛物线上存在D(a，a2－a－1)(0＜a＜3)使四边形ABCD的面积为3． 　　作DM⊥x轴于M，则S四边形ABDC＝S△AOC＋S梯形OCDM＋S△BMD， 　　∴S四边形ABCD＝|xAyC|＋(|yD|＋|yC|)xM＋(xB－xM)|yD| 　　＝×1×1＋[－(a2－a－1)＋1]×a＋(3－a)[－(a2－a－1)] 　　＝－a2＋a＋2， 　　∴由－a2＋a＋2＝3， 　　解得：a1＝1，a2＝2， 　　∴D的纵坐标为：a2－a－1＝－或－1， 　　∴点D的坐标为(1，)，(2，－1)； 　　(3)①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ＝AB＝4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为－4或4， 　　当x＝－4时，y＝7；当x＝4时，y＝； 　　所以此时点P1的坐标为(－4，7)，P2的坐标为(4，)； 　　②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H， 　　可证得△PHG≌△QOG， 　　∴GO＝GH， 　　∵线段AB的中点G的横坐标为1， 　　∴此时点P横坐标为2， 　　由此当x＝2时，y＝－1， 　　∴这是有符合条件的点P3(2，－1)， 　　∴所以符合条件的点为：P1的坐标为(－4，7)，P2的坐标为(4，)；P3(2，－1)．