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    5．如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
    （1）若AD=3$\sqrt{2}$，BE=4，求EF的长；
    （2）求证：CE=$\sqrt{2}$EF；
    （3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

    分析 （1）由AE=DE，∠AED=90°，AD=3$\sqrt{2}$，可求得AE=DE=3，在Rt△BDE中，由DE=3，BE=4，可知BD=5，又F是线段BD的中点，所以EF=$\frac{1}{2}$BD=2.5；
    （2）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=$\sqrt{2}$EF；
    （3）思路同（1）．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，要证明EF=FG，需要证明△DEF和△FGB全等．由全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此得出结论．

    解答 解：（1）∵∠AED=90°，AE=DE，AD=3$\sqrt{2}$，
    ∴AE=DE=3，
    在Rt△BDE中，
    ∵DE=3，BE=4，
    ∴BD=5，
    又∵F是线段BD的中点，
    ∴EF=$\frac{1}{2}$BD=2.5；
    （2）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=$\sqrt{2}$FE；
    解法1：∵∠AED=∠ACB=90°
    ∴B、C、D、E四点共圆
    且BD是该圆的直径，
    ∵点F是BD的中点，
    ∴点F是圆心，
    ∴EF=CF=FD=FB，
    ∴∠FCB=∠FBC，∠ECF=∠CEF，
    由圆周角定理得：∠DCE=∠DBE，
    ∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°
    ∴∠ECF=45°=∠CEF，
    ∴△CEF是等腰直角三角形，
    ∴CE=$\sqrt{2}$EF．
    解法2：∵∠BED=∠AED=∠ACB=90°，
    ∵点F是BD的中点，
    ∴CF=EF=FB=FD，
    ∵∠DFE=∠ABD+∠BEF，∠ABD=∠BEF，
    ∴∠DFE=2∠ABD，
    同理∠CFD=2∠CBD，
    ∴∠DFE+∠CFD=2（∠ABD+∠CBD）=90°，
    即∠CFE=90°，
    ∴CE=$\sqrt{2}$EF．
    （2）（1）中的结论仍然成立．
    解法1：如图2-1，连接CF，延长EF交CB于点G，
    ∵∠ACB=∠AED=90°，
    ∴DE∥BC，
    ∴∠EDF=∠GBF，
    在△EDF和△GBF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠GBF}\\{DF=BF}\\{∠EFD=∠GFB}\end{array}\right.$，
    ∴△EDF≌△GBF，
    ∴EF=GF，BG=DE=AE，
    ∵AC=BC，
    ∴CE=CG，
    ∴∠EFC=90°，CF=EF，
    ∴△CEF为等腰直角三角形，
    ∴∠CEF=45°，
    ∴CE=$\sqrt{2}$FE；
    解法2：如图2-2，连结CF、AF，
    ∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°，
    又∵点F是BD的中点，
    ∴FA=FB=FD，
    在△ACF和△BCF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{FA=FB}\\{AC=BC}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
    ∴△ACF≌△BCF，
    ∴∠ACF=∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
    ∵FA=FB，CA=CB，
    ∴CF所在的直线垂直平分线段AB，
    同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，
    又∵DA⊥BA，
    ∴EF⊥CF，
    ∴△CEF为等腰直角三角形，
    ∴CE=$\sqrt{2}$EF．

    点评 本题主要考查了几何综合变换，通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建是解题的关键．

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