Question

如图已知P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA=PB，C为优弧上任意一点（不与A、B重合），连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接AC、BC．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠BCA=，⊙O的半径为，求弦AB的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OA，OB，根据AP为圆O的切线，利用切线的性质得到∠OAP为直角，由半径OA=OB，已知AP=BP，以及公共边OP，利用SSS得出△OAP≌△OBP，利用全等三角形的对应角相等得到∠OBP为直角，即BP垂直于OB，可得出BP为圆O的切线；
（2）延长BO与圆交于点E，连接AE，利用同弧所对的圆周角相等得到∠AEB=∠ACB，可得出tan∠AEB的值，由BE为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到∠BAE为直角，在直角三角形AEB中，设AB=2x，得到AE=3x，再由直径BE的长，利用勾股定理得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出弦AB的长．
解答：（1）证明：连接OA，OB，如图所示：

∵AP为圆O的切线，
∴∠OAP=90°，
在△OAP和△OBP中，
，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
则BP为圆O的切线；
（2）解：延长线段BO，与圆O交于E点，连接AE，
∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°，
∵∠AEB和∠ACB都对，
∴∠AEB=∠ACB，
∴tan∠AEB=tan∠ACB=，
设AB=2x，则AE=3x，
在Rt△AEB中，BE=2，
根据勾股定理得：（2x）²+（3x）²=（2）²，
解得：x=2或x=-2（舍去），
则AB=2x=4．
点评：此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：圆周角定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定与性质，切线的证明方法有两种：有点连接，证垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．