Question

如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠P=50゜，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB=

65°或115°

．

Answer 1

分析：分两种情况：（1）当C在优弧AB上；（2）当C在劣弧AB上；连接OA、OB，在四边形PAOB中，∠OAP=∠OBP=90°，由内角和求得∠AOB的大小，然后根据圆周角定理即可求得答案．

解答：解：（1）如图（1），连接OA、OB．
在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切⊙O于点A、B，
则∠OAP=∠OBP=90°；
由四边形的内角和定理，知
∠APB+∠AOB=180°；
又∵∠P=50°，
∴∠AOB=130°；
又∵∠ACB=

1

2

∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠ACB=65°；

（2）如图（2），连接OA、OB，作圆周角∠ADB．
在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切⊙O于点A、B，
则∠OAP=∠OBP=90°；
由四边形的内角和定理，知
∠APB+∠AOB=180°；
又∠P=50°，
∴∠AOB=130°；
∴∠ADB=

1

2

∠AOB=65°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=115°．
∴∠ACB=65°或115°．
故答案为：65°或115°．

点评：本题考查了切线的性质及圆周角定理及多边形的内角和定理．解答此题时，采用了“分类讨论”数学思想，避免了漏解的现象．