Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，BO₂切⊙O₁于点B，BO₂的延长线交⊙O₂于点D，DA的延长线交⊙O₁于点C．
（1）证明：DB⊥BC；
（2）如果AC=3AD，求∠C的度数；
（3）在（2）的情况下，若⊙O₂的半径为6，求四边形O₁O₂CD的面积．

Answer 1

分析：（1）连接AB，可证得BA⊥CD，由BC是⊙O₁的切线，根据切线的性质推出DB⊥BC；
（2）由AC=3AD；得AD=

1

4

DC，由切割线定理得出BD=

1

2

DC，则∠C=30°；
（3）先求出⊙O₁的半径，AB、CD的长，由三角形的中位线定理求得O₁O₂的长，再求四边形O₁O₂CD的面积．

解答：（1）证明：连接AB，∵BC是⊙O₁的直径，
∴BA⊥CD，（1分）
所以BD是⊙O₂的直径．（2分）
又∵BD是⊙O₁的切线，所以DB⊥BC．（3分）

（2）解：∵AC=3AD；
∴AD=

1

4

DC，
∵BD²=DA•DC=

1

4

DC²，（5分）
∴BD=

1

2

DC，（6分）
∴∠C=30°．（7分）

（3）解：设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为r₁、r₂．
∵⊙O₂的半径为6，
∴AB=6

3

，
∴r₁=6

3

，（9分）
∴AC=18，
∴AD=6，
∵O₁O₂是△BCD的中位线，O₁O₂=

1

2

DC=12，（11分）

1

2

AB=3

3

，
∴S_梯形O1O2CD=

1

2

（24+12）×3

3

=54

3

．（12分）

点评：本题考查了切线的性质、切割定理和三角形的中位线定理，难度较大．