Question

半径为5的圆内有长为5

3

的弦，则此弦所对的圆周角为（　　）

A．60°

B．120°

C．60°或120°

D．30°或120°

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，由OD⊥AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD与BD的长，且得出OD为角平分线，在Rt△AOD中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠AOD的度数，进而确定出∠AOB的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦AB所对圆周角的度数．

解答：解：如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD=BD=

5

2

3

，
在Rt△AOD中，OA=5，AD=

5

2

3

，
∴sin∠AOD=

5 3 2

5

=

3

2

，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ACB=

1

2

∠AOB=60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB=120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故选C．

点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．