如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；

（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形

　 ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º

∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD

∴∠BAE＝∠DAG

∴△ BAE≌△DAG　　

（2）∠FCN＝45º　　　　

理由是：作FH⊥MN于H

　　 ∵∠AEF＝∠ABE＝90º

　 ∴∠BAE +∠AEB＝90º，∠FEH+∠AEB＝90º

　 ∴∠FEH＝∠BAE

　又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90º

∴△EFH≌△ABE　　　　　　　　　

∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH

∵∠FHC＝90º，∴∠FCH＝45º　　

（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变

理由是：作FH⊥MN于H

由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º

结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG

又∵G在射线CD上

∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º

　 ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE　

　　　∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，

∴＝＝

∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝

∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝

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①当t=

时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
③现将甲图中的抛物线向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于G、F两点，与原抛物线交于点Q，设△FGQ的面积为S，求S关于m的函关系式．