Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O。
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC=2︰3，请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？
①当k=1时，是_________；
②当k=2时，是_________；
③当k=3时，是_________； 并证明k=2时的结论。

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC， ∴∠OBP=∠ODE， 在△BOP和△DOE中， ∠OBP=∠ODE，∠BOP=∠DOE， ∴△BOP∽△DOE；（有两个角对应相等的两三角形相似）
（2）①平行四边形； ②直角梯形； ③等腰梯形； 证明：∵k=2时， ∴BP=2DE=AD， 又∵AD︰BC=2︰3 BC=AD PC=BC-BP=AD-AD=AD=ED ED∥PC， ∴四边形PCDE是平行四边形， ∵∠DCB=90° ∴四边形PCDE是矩形， ∴∠EPB=90°， 又∵在直角梯形ABCD中 AD∥BC，AB与DC不平行 ∴ AE∥BP， AB与EP不平行四边形ABPE是直角梯形。