Question

如图，已知直线y=

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x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
（1）求点A、B的坐标；
（2）点M是线段OA的中点，连BM并延长至C，使MC=BM，连接AC、OC，试说明四边形ABOC是平行四边形，并写出点C坐标；
（3）在平面直角坐标系中是否还存在其它的点P，使得以点P、A、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请在图中画出满足条件的所有点P，并写出点P坐标．

Answer 1

分析：（1）令一次函数解析式中x=0求出对应的y值，得到B的坐标，令y=0求出对应的x值，得到A的坐标即可；
（2）由M为OA的中点，得到OM=MA，又MC=BM，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到四边形ACOB为平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等得到AC与BO平行且相等，根据OB的长得出AC的长，再由两直线平行内错角相等得到CA与x轴垂直，进而由AC与OA的长，以及C在第三象限，即可得出C的坐标；
（3）存在其它的点P，使得以点P、A、B、O为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，满足条件的P点有P₁和P₂两个位置，由平行四边形的对边相等，以及OA、OB的长，根据象限点坐标特点写出满足题意的P₁和P₂两点坐标即可．

解答：解：（1）对于y=

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x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=-4，
∴点A为（-4，0），点B为（0，2）；…（3分）

（2）∵M是线段OA的中点，
∴MA=MO，又MC=BM，
∴四边形ABOC是平行四边形，…（5分）
∴AC=BO，AC∥BO，
又∵B（0，2），即OB=2，∠AOB=90°，
∴AC=BO=2，且∠CAO=90°，
又∵OA=4，
则点C的坐标是（-4，-2）；…（6分）

（3）存在其它的点P，使得以点P、A、B、O为顶点的四边形是平行四边形，
点P的位置如图所示：

∵四边形AOBP₁和四边形AOP₂B都为平行四边形，
∴AP₁=BO=P₂N=2，BP₂=AO=4，
∴P₁为（-4，2），P₂为（4，2）．…（8分）

点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，以及平行线的性质，利用了转化及数形结合的数学思想，是一道中考中常考的题型．